Визуальное моделирование

Проект 2: Пикирование сапсана

Пикируя за добычей, сапсан может развивать скорость до 350 км/ч. Когда он пикирует, на него действуют две силы – гравитация и сопротивление воздуха. Уравнение движения сапсана имеет вид:

где – масса сапсана, – его скорость, – время, – плотность воздуха, – коэффициент аэродинамического сопротивления, – площадь поперечного сечения (площадь крыльев), – ускорение свободного падения.

Однако по мере приближения к земле он изменяет угол наклона крыльев, увеличивая лобовое сопротивление, чтобы быстро снизить скорость до безопасного посадочного значения. Это можно смоделировать изменением площади и коэффициента аэродинамического сопротивления .

В этом проекте вы будете моделировать движение сапсана в два этапа. Сначала вы смоделируете уравнение движения для фиксированных параметров сопротивления воздуха. Затем вы смоделируете раскрытие крыльев, замедляющее полет птицы.

Этап 1

Начнем моделировать уравнение движения сапсана

На этом этапе мы предполагаем, что площадь крыльев и коэффициент аэродинамического сопротивления постоянные.

✏️Задание 1

Смоделируйте слагаемое , представляющее собой силу сопротивления воздуха, пропорциональную квадрату скорости.

1. Создайте новую модель. Добавьте в модель блок Математическая функция. В окне настроек блока для параметра Функция выберите значение Square (возведение в квадрат). Выходом этого блока будет величина . Вы можете переименовать блок в Возведение в квадрат, а выходной сигнал этого блока назвать v^2.
2. Добавьте в модель блок Константа и расположите его ниже блока Математическая функция. В окне настроек блока задайте значение константы равным 0.5*rho*Cd*S.
3. Добавьте в модель блок Умножение. Подсоедините к его входам выходы блоков Математическая функция и Константа. На выходе блока получится выражение .

Решение

✏️Задание 2

Смоделируйте слагаемое , представляющее собой силу тяжести.

1. Добавьте в модель еще один блок Константа и расположите его ниже блока Умножение. В окне настроек блока задайте значение константы равным m*9.81.
2. Добавьте в модель блок Сложение. Подсоедините выходы блоков Умножение и Константа (сигнал m*9.81) к верхнему и нижнему входам блока Сложение соответственно. В окне настроек блока задайте значение параметра Порядок знаков равным +-. На выходе блока вы получите правую часть уравнения движения.

Решение

✏️Задание 3

Теперь нужно приравнять левую и правую части уравнения движения. Для этого полезно переписать уравнение в следующем виде:

Таким образом, вам нужно умножить существующий сигнал на величину . Для этого выполните следующие действия:

1. Добавьте в модель блок Коэффициент усиления и соедините его вход с выходом блока Сложение.
2. В окне настроек блока задайте значение коэффициента усиления равным 1/m.

Решение

✏️Задание 4

Сигнал на выходе блока Коэффициент усиления, согласно преобразованному уравнению, должен равняться производной от скорости по времени , т.е. ускорению. Чтобы от производной перейти к самой функции , нужно применить операцию интегрирования:

1. Добавьте в модель блок Интегратор и подсоедините к его входу выход блока Коэффициент усиления. Выходом блока Интегратор будет сигнал . Соедините его со входом блока Возведение в квадрат.
2. Залогируйте выходной сигнал блока Интегратор (сигнал v).

Решение

✏️Задание 5

Вам осталось задать значения постоянных параметров и начальное условие.

1. Выполните в командной строке Engee команду для инициализации параметров модели:

Cd = 0.1; rho = 1.2; S = 0.1; m = 1;

2. В окне настроек блока Интегратор задайте значение параметра Начальное значение равным -10 м/с.
3. Запустите модель и постройте график выходного сигнала.

Решение

Этап 2

На втором этапе вы смоделируете движение сапсана, раскрывающего крылья.

✏️Задание 6

1. Удалите из модели блок Константа со значением 0.5*rho*Cd*S.
2. Добавьте в модель блок Переключатель, который позволит выбирать различные значения множителей при в слагаемом, отвечающем за силу сопротивления воздуха. Подключите выход блока Переключатель к освободившемуся входу блока Умножение.

Решение

✏️Задание 7

Сапсан расправляет крылья, когда чувствует, что находится близко к земле. Предположим, что это происходит на высоте 15 м. Это поведение описывается следующим образом: если м, то величины и принимают те же значения, которые использовались на Этапе 1. В противном случае коэффициент аэродинамического сопротивления увеличивается, к примеру, вдвое (), а площадь поперечного сечения – в 5 раз ().

1. Добавьте в модель два блока Константа и расположите их друг под другом. Эти константы будет характеризовать параметры полета для двух режимов: при низком и высоком сопротивлении воздуха.
2. В окне настроек верхнего блока Константа задайте значение константы равным 0.5*rho*0.1*0.1. В окне настроек нижнего блока задайте значение константы равным 0.5*rho*0.2*0.5. Вы можете переименовать эти блоки в Низкое сопротивление и Высокое сопротивление соответственно.
3. Подсоедините выходы двух блоков Константа к верхнему и нижнему входным портам блока Переключатель.

Решение

✏️Задание 8

Условие переключения зависит от высоты, но пока в модели рассчитываются только ускорение и скорость . Высоту можно найти, проинтегрировав скорость, поэтому вам понадобится еще один блок интегратора:

1. Добавьте в модель второй блок Интегратор. Щелкните по нему правой кнопкой мыши и в открывшемся контекстном меню выберите команду Развернуть. Сделайте ответвление от сигнала и подсоедините его ко входу нового блока Интегратор.
2. В окне настроек блока задайте значение параметра Начальное значение равным 60 м.

Решение

✏️Задание 9

Выходной сигнал этого интегратора – высота сапсана над землей . Она является величиной, определяющей состояние переключателя.

1. Подключите выходной сигнал нового блока Интегратор (назовите его h) к среднему (управляющему) входному порту блока Переключатель.
2. В окне настроек блока Переключатель значение параметра Критерии для прохождения первого входа оставьте равным u2 >= Threshold (значение по умолчанию). Значение параметра Порог задайте равным 15.
3. Залогируйте сигнал h для того, чтобы вывести на графике его зависимость от времени.

Решение

✏️Задание 10

1. На таких скоростях пикирование сапсана завершается всего за несколько секунд. В окне настроек модели задайте время моделирования равным 2.5 с.
2. Запустите модель и постройте графики зависимости скорости и высоты сапсана от времени.

Решение

График зависимости скорости сапсана от времени:

График зависимости высоты сапсана от времени:

Теперь у вас есть модель зависимости высоты и скорости сапсана от времени, учитывающая обе конфигурации крыльев. Попробуйте изменить параметры модели, чтобы проверить их влияние на физическую систему.